Vorsicht mit den Begriffen: "Eidestaatlich" gibt es nicht, schon gar nicht bei der Polizei. Die Polizei macht nur eine Abfrage beim KBA in Flensburg, ob das Fahrzeug mit dieser speziellen Fahrgestellnummer Gegenstand einer Sachfahndungsanzeige (= geklaut gemeldet) ist, oder z. B. wegen Tunings zwangsweise stillgelegt wurde. Wenn alles OK ist, gibts eine Unbedenklichkeitsbescheinigung. Seit 2007 kann auch jede Zulassungsstelle auf exakt den gleichen Datenbestand zugreifen, vielerorts haben die Damen am Schalter das aber entweder noch gar nicht gehört oder haben keinen Bock drauf und schicken dich trotzdem zur Polizei weil "das haben wir schon immer so gemacht". Vorteil ist allerdings, dass die Ausstellung der Bescheinigung bei der Polizei in der Regel kostenlos ist.
Eine eidesstattliche Erklärung über den Verlust der Papiere kann nur der Verlierer, also in der Regel der letzte Halter abgeben. Wenn es sich um eine Fuffi handelt, die nicht zulassungspflichtig ist, kann in keinem Computer irgendein Halter verzeichnet sein. Deshalb könnte man (selbstverständlich rein theoretisch) darüber nachdenken, ob nicht ein Bekannter letzter Besitzer des Fahrzeugs war, die Papiere verloren hat und das auch an Eides statt versichert.
Praktisch begibt man sich damit unter Umständen in strafrechtlich relevante Bereiche, weil eine falsche eidesstattliche Versicherung kein Kavaliersdelikt, sondern eine Straftat ist. Deshalb sollte jeder sehr genau abwägen, ob es in seinem Fall ein Risiko gibt und wenn ja, wie groß das Risiko ist, dass dies auffallen könnte.