Solange das Teil nicht vom Vormieter der Garage (der der nicht mehr gezahlt hat) gestohlen gemeldet wurde, würde ich da kein Problem drin sehen. Hat er vermutlich nicht, da er die Miete schuldig blieb und irgendwann greift dann das sog. Vermieterpfandrecht, d. h. der geprellte Vermieter darf die zurückgelassenen Gegenstände verwerten, um zumindest einen Teil seiner Unkosten wieder hereinzuholen.
So wird der Fall hier liegen. D. h. für dich zum Piaggiohändler, Formular abholen, damit zum Straßenverkehrsamt oder zur Polizei (ist je nach Landkreis verschieden), dort mit kostenlosem Stempel auf dem Formular bescheinigen lassen, dass das Fahrzeug nicht "Gegenstand einer Sachfahndung" ist. Dann mit dem Formular wieder zum Händler, abgeben, ein paar Wochen später einen bestimmten Betrag zahlen (aktuell schwanken die Erfahrungen zwischen 29 und 60 Euro) und die offizielle Zweitschrift der BE in Empfang nehmen. Damit dann zur Versicherung, Kennzeichen abholen, dranschrauben und fahren.
Wenn das Fahrzeug trotzdem -unwahrscheinlicherweise- gestohlen gemeldet sein sollte, hast du immer noch den Kaufvertrag. Damit hast du gutgläubig gehandelt. Du kannst zwar an gestohlenen Gegenständen kein Eigentum erwerben und müsstest den Roller wieder herausgeben, aber du hast dann gegen den Verkäufer des Rollers einen zivilrechtlichen Anspruch auf Herausgabe des Kaufpreises. Im Zweifel schaut also der Verkäufer in die Röhre. Wenn das Fahrzeug allerdings tatsächlich schon seit 1981 zurückgelassen wurde, würde ich mir da null Sorgen machen.