Dein Roller stammt zwar auch aus dem Hause Piaggio, ist aber deshalb trotzdem keine Vespa. Vergleichbare Situation wäre, wenn du in einem Käferforum nach Hilfe für ein Problem mit einem Polo fragen würdest.
Deshalb empfehle ich, mit Hilfe einer Internetsuchmaschine ein Automatikrollerforum ausfindig zu machen, z. B. o. ä..
Bei Bj. 1987 brauchst du keine AU, egal ob Leichtkraftrad oder Motorrad. HU-Kosten für Motorräder und Leichtkrafträder findest du auf der Homepage des jeweiligen TÜVs, sollten normalerweise 55 Euro sein, wobei auch hier kein Unterschied zwischen LKR und Motorrad gemacht wird.
Einzelabnahme des Zylinders kommt noch dazu und wird nach Aufwand berechnet, der im Ermessen des Prüfers liegt. Vielleicht einfach mal ganz nach alter Schule das Telefon bedienen und nachfragen.
Bediene z. B. die Google-Bildersuche mit "Vespa Primavera", dann sollten sich ausreichend Ergebnisse finden. Da die Rahmen von 50ern und 125ern gleich sind, sollten die Ergebnisse auch aussagekräftig für dein Anliegen sein. Wenn du einen PV Lenker auf eine Special montieren willst, lautet der Suchbegriff "Vespa 50 SR".
Schaltroller sind wesentlich wartungsfreundlicher als PK Automatikmodelle. Außerdem sind sämtliche Ersatzteile für Schaltmodelle verfügbar, im Gegensatz zu Automatikmodellen.
Wie schon erwähnt, sind die einzigen "klassischen" Vespas mit Automatik PK Modelle, die aber wieder wenig "retro" aussehen. Du wirst wohl oder übel irgendwann selbst schrauben müssen, wenn du nicht eine Werkstatt bereichern möchtest. Eine 50 N ist schließlich ein um die 30 Jahre altes italienisches Fahrzeug. Das ist eben die Kehrseite stylischer Fortbewegung.
Vielleicht wäre es bei deinen Anforderungen doch besser, wenn du noch weitere 1.500 Euro ansparst und dir eine neue LX oder S 50 kaufst. Die sehen auch retro aus, haben Automatik und sogar noch Garantie. 
Möglich ist fast alles, kommt auf deinen Kontostand an. Dick tunen kostet halt dick Geld für Teile und TÜV Abnahme. Wenn du dein mögliches Investitionsvolumen verrätst, lässt sich da leichter was empfehlen.
Du kannst PK S und PK XL Gabeln (jeweils deutsche Ausführung - nicht italienisch oder österreichisch, weil diese weitgehend baugleich mit V50 Gabeln sind) für die Grimeca Scheibenbremse verwenden. Die Gabeln haben alle eine 20 mm Achse, also bei der Bestellung der Bremse darauf achten.
Kürzen der Gabel hast du schon erwähnt, außerdem muss die Lenkschlossnut angepasst werden. Die obere Federbeinaufnahme der PK Gabel muss ebenfalls angepasst werden, da sonst der V50 Kotflügel nicht darüber passt. Außerdem brauchst du eine längere Tachowelle.
Hinten kannst du einfach die Bremsankerplatte und Trommel 1:1 gegen die von einem 10" Modell austauschen.
Chuck Norris macht keine Witze. 
Das ist wohl schwierig zu sagen, da nur wenige Leute einen kompletten neuen Motor kaufen und von diesen wenigen Leuten noch weniger ihn erstmal spaßeshalber aufreißen.
Die war ja auch total süß in türkis/mint neu lackiert und eine Automatik PK ist doch super, wenn man schon immer von einer alten Vespa geträumt hat und die Alte auch mal damit fahren soll, aber mit Handschaltung nicht so gut klarkommt. 
Die Rede ist von den bei diversen Händlern (so auch SIP) aktuell neu erhältlichen PX 200 Motorgehäusen.
In diesem Forum geht es um altmodische Vespas mit 2-Takter und Handschaltung. Fragen zu deinem Roller wird man dir eher unter beantworten können.
LML ist die Abkürzung für die 1972 gegründete Firma Lohia Machines Private Limited, die die Vespa PX unter dem Namen LML Star Deluxe weiterhin produziert.
Auch bei mobile.de zu finden: Klick
Betrachte es als technischen Fortschritt von PX alt zu Lusso im Interesse der Wartungsfreundlichkeit. Was nicht vorhanden ist, kann auch nicht kaputt gehen.
Verschoben nach Kauf- und Verkaufsberatung.
Da du bei weitem nicht der erste Laie bist, der sich eine PK 50 zulegen will, solltest du einfach mal ein wenig in diesem Unterforum (Kauf- und Verkaufsberatung) durch die zahlreich zu exakt deinen Fragen vorhandenen Topics stöbern. Alles was du wissen musst ist hier schon x-mal besprochen worden und bedarf deshalb nicht unbedingt einer nochmaligen Wiederholung.
Wenn du dann ein konkretes Fahrzeug ins Auge gefasst hast, kannst du es gerne mit Bildern und/oder Link hier vorstellen, damit erfahrenere User dir ihre Einschätzung dazu mitteilen können.
Wenn kein Elektrostarter vorhanden ist, dann gibt es bei der PX Lusso auch keine Batterie.
Das beschriebene Problem deutet sehr stark auf Falschluft hin, die verschiedene Ursachen haben kann, wie z. B. einen losen Vergaser, einen hängenden Gaszug, aber eben auch die Simmerringe der Kurbelwelle.
Wieso glaubst du, dass es die (Wellen-) Dichtringe nicht sind? Weil nicht sein kann, was nicht sein darf wegen erheblichem Arbeitsaufwand?
Der Kickstarter ist durch. Auf Dauer hält das mit dem Riss nicht, der wird sich bei weiterem Gebrauch aufbiegen und dann gibt die Verzahnung früher oder später auf. Außer einem dann endgültig unbrauchbaren Kickstarter wird allerdings nichts weiter kaputtgehen, die Kickstarterwelle ist sehr massiv. Ein neuer Kickstarter kostet max. 25 Euro.
So, Lenker ist jetzt dank über-nacht-wd-40-einwirken runter.
Die Frage nach der Schraube stellt sich wohl nicht mehr...
Wenn es sich um eine "verstärkte" Kupplung mit 4 Scheiben handelt, dann liegt da der Hund begraben. Meistens trennen die Dinger nicht richtig, deshalb zieht der Roller bei eingelegtem 1. Gang trotz gezogener Kupplung nach vorne.
Die 4-Scheiben Kupplung ist beim 75er DR völlig unnötig und die Probleme sind wesentlich größer als eventuelle Vorteile. Normale 3-Scheiben Kupplung und härtere (Polini) Feder ist vollkommen ausreichend zur Übertragung der brachialen Leistung des DRs und trennt vernünftig.
