Ich lese Deine Schilderung so, daß
1. die Batterie während des Betriebs nicht aufgeladen wird und
2. die Versorgung sämtlicher Verbraucher, also Blinker, Hupe, Brems- und Fahrlicht über die Batterie erfolgt.
Zu 1. hat Dir Volker schon den richtigen Hinweis gegeben, daß Dein Spannungsregler vermutlich hinüber ist.
2. kommt mir insoweit bekannt vor, als ich kurz nach dem Erwerb meiner gebrauchten PX feststellte, daß irgend ein Schlauberger von Vorbesitzer sich an der Stromversorgung versucht hatte. Und zwar mit dem Ergebnis, daß alle Verbraucher auf Batterie gelegt wurden. Was aber falsch ist, wie Du ja an der P125X siehst. Der Lichtstrom geht nicht über Batterie sondern wird auf der ZGP in einer gesonderten Spule erzeugt und geht direkt zur Birne. Deshalb leuchtet die ja auch drehzahlabhängig.
Standlicht geht mit Zündschlüssel "links" auch auf Batterie. Das erinnerst Du richtig.
Ich denke nicht, daß Du ZGP oder Kabelbaum wechseln mußt. Nimm Dir den Schaltplan und prüfe, ob die Kabel richtig angeschlossen sind. So ein piepsender Durchgangsprüfer ist hilfreich und Bestandteil jeden Multimeters. Ich vermute mal, daß irgendwas falsch gesteckert ist.
Noch was: Du solltest die Batterie nicht so tief entladen, 6V - da geht die bald hinüber. Und der Spannungsregler geht auch hinüber, wenn er keine Batterie angehängt hat.
Soweit mein Senf dazu; alles unter dem Vorbehalt, daß sich meine Kenntnisse auf eine PX beziehen.
Gruß Robert