Erstmal willkommen. Ein großer Teil deiner Fragen ließe sich zwar mit Hilfe der Suchfunktion beantworten, aber ich will mal nicht so sein:
Dein Fahrzeug heißt lt. ABE und Typenschild am Rahmentunnel P 80 X, bei Bj. 1991 handelt es sich aber um eine PX 80 E Lusso. Die ursprüngliche Bezeichnung wurde trotz der Facelifts während der Bauzeit der PX 80 offiziell nicht geändert.
Eventuell muss wegen des Kickstarterproblems nicht der Motor komplett zerlegt werden, sondern nur mal nach der Kupplung geschaut werden - ein durchrutschender Kickstarter kann auch Folge eines zu stark vorgespannten Kupplungszuges, verschlissener Kupplungsbeläge oder einer losen Kupplung sein.
Ja, die Vespa hat einen Spannungsregler. Sitzt unter der linken Seitenhaube innerhalb der Ersatzradhalterung, ist aus Aluguß mit Kühlrippen und hat etwa die Größe einer Zigarettenschachtel.
Es gibt keine Freigaben für andere Reifengrößen, außer den eingetragenen 3.50-10 Reifen. Aber auch in dieser Größe gibt es zahlreiche moderne Profile. Wirklich breitere Reifen kannst du auch sowieso nicht montieren, weil dann z. B. das Hinterrad am Motorblock schleifen würde. Es gibt zwar Umbaukits für Breitreifen, das ganze ist aber relativ aufwendig und auch irreversibel, da die Motorschwinge gekürzt werden muss, um den Motor weiter nach rechts zu versetzen, damit der Spurversatz durch den Breitreifen ausgeglichen wird. Wenn du trotzdem andere Reifengrößen fahren willst, geht das nur über eine Einzelabnahme beim TÜV. BITTE verlange jetzt keine Empfehlung zu DEM besten Reifen, die gibt es nämlich nicht, weil jeder seine eigenen Vorlieben hat. Das kannst du auch einem der mehr als zahlreich vorhandenen und immer ohne eindeutiges Ergebnis verlaufenen Reifentopics hier im Forum entnehmen.
Wenn der Roller erst seit 5 Jahren stillgelegt (abgemeldet) ist, brauchst du nur eine neue HU und AU (da jünger als EZ 01.04.1989), um ihn wieder zulassen zu können. Die AU verläuft aber in aller Regel problemlos, da die Sollwerte so hoch angesetzt sind, dass man sich schon anstrengen muss, um durchzufallen.